यदि रेखा frac{x - 3}{1} = frac{y + 2}{-1} = f | vedclass

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Question

(C) चूंकि रेखा समतल में स्थित है,इसलिए बिंदु $(3, -2, -\lambda)$ को समतल के समीकरण $2x - 4y + 3z = 2$ को संतुष्ट करना चाहिए।बिंदु को प्रतिस्थापित करने

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(C) चूंकि रेखा समतल में स्थित है,इसलिए बिंदु $(3, -2, -\lambda)$ को समतल के समीकरण $2x - 4y + 3z = 2$ को संतुष्ट करना चाहिए।बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर: $2(3) - 4(-2) + 3(-\lambda) = 2$.$6 + 8 - 3\lambda = 2 \implies 14 - 3\lambda = 2 \implies 3\lambda = 12 \implies \lambda = 4$.साथ ही,रेखा का दिशा सदिश $(1, -1, -2)$ समतल के अभिलंब $(2, -4, 3)$ के लंबवत होना चाहिए।जाँच: $(1)(2) + (-1)(-4) + (-2)(3) = 2 + 4 - 6 = 0$. यह शर्त संतुष्ट होती है।अब,दो रेखाओं पर विचार करें:$L_1: \frac{x - 3}{1} = \frac{y + 2}{-1} = \frac{z + 4}{-2}$$L_2: \frac{x - 1}{12} = \frac{y}{9} = \frac{z}{4}$चूंकि $L_1$ समतल $2x - 4y + 3z = 2$ में स्थित है,हम जाँचते हैं कि क्या $L_2$ समतल को प्रतिच्छेद करती है। $L_2$ के लिए,$x = 12k+1, y = 9k, z = 4k$.समतल में प्रतिस्थापित करने पर: $2(12k+1) - 4(9k) + 3(4k) = 24k + 2 - 36k + 12k = 2$.$2 = 2$. यह प्रत्येक $k$ के लिए सत्य है। अतः,रेखा $L_2$ भी उसी समतल में स्थित है।चूंकि दोनों रेखाएं एक ही समतल में स्थित हैं,वे या तो समानांतर हैं या प्रतिच्छेदी हैं। दिशा सदिश $(1, -1, -2)$ और $(12, 9, 4)$ आनुपातिक नहीं हैं,इसलिए वे समानांतर नहीं हैं।अतः,रेखाएं प्रतिच्छेदी होनी चाहिए। दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $0$ होती है।

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